• Entender el uso del álgebra booleana para la toma de decisiones
• Diseñar circuitos digitales con compuertas lógicas
• Implementar el control de un sistema digital

• Busca representar la toma de decisiones, en sistemas electrónicos y computacionales
• Desarrollada en 1854 por George Boole, con su libro "Una investigación sobre las leyes del pensamiento"
• Los circuitos lógicos utilizan intervalos de voltaje definidos, para representar los estados binarios: True o False

• Los métodos descritos por Boole, se conocen como lógica booleana, y el sistema de símbolos y operadores se llama álgebra booleana
• El propósito del álgebra booleana, es describir la relación entre la salida del circuito lógico (la decisión), y sus entradas (condiciones)

• Las variables booleanas se utilizan para representar el nivel de voltaje presente en un alambre o en las terminales de entrada/salida de un circuito
• Se representan con valores: 0 y 1; que corresponden a valores booleanos, y no a números reales. Esto se conoce como Nivel lógico

• Se utilizan símbolos de letras para representar las llamadas variables lógicas
• En el álgebra booleana no hay fracciones, raíces, valores negativos, logaritmos ni imaginarios, sólo valores de 0 y 1
• Únicamente hay 3 operaciones básicas: OR, AND y NOT, llamdas Operaciones lógicas
• Los circuitos digitales, llamados Compuertas lógicas, se construyen a partir de diodos, transistores y resistencias.

• Describe la salida (decisión) de un circuito lógico, para los diferentes casos de sus señales de entrada (condiciones)

• En el ejemplo, la tabla muestra la salida X, para las diferentes combinaciones de las entradas A y B

• Observe que hay 8 combinaciones para un circuito con 3 entradas (A,B,C).
• La cantidad de combinaciones será igual a $2^n$ con $n$, la cantidad de entradas

• La operación OR (o), representa una situacion donde es suficiente que se cumpla una u otra condición (pueden ser más de 2 condiciones), para activar una salida.
• El horno de la cocina es un buen ejemplo, la luz en el horno, se enciende si el interruptor está encendido O si la puerta está abierta.

• La operación AND (y), representa una situacion donde se deben cumplir (valor lógico 1) todas las condiciones, para activar una salida.
• Una secadora de ropa, seca ropa (calienta y gira) sólo si el temporizador (A) está por encima de cero Y la puerta (B) está cerrada;

• La operación NOT (negación), representa una situacion donde la salida se convierte en el valor inverso (contrario) de la entrada
• Por ejemplo, si la variable A tiene un valor lógico de 1, la salida X sería un cero

$X = \bar{A}$

• La barra representa la operación de negación, también se puede representar con $A'$

• La compuerta NOR, opera como una compuerta OR, seguida de un inversor (NOT)
• Se representa con el mismo símbolo que una OR, pero seguido de un pequeño círculo que representa la negación

• Su tabla de verdad, muestra que la salida es el inverso exacto de la compuerta OR, para todas las posibles combinaciones de las condiciones

• La compuerta NAND, opera como una compuerta AND, seguida de un inversor (NOT)
• Se representa con el mismo símbolo que una AND, pero seguido de un pequeño círculo que representa la negación

• Su tabla de verdad, muestra que la salida es el inverso exacto de la compuerta AND, para todas las posibles combinaciones de las condiciones

• También llamados reglas booleanas, simplifican expresiones y los circuitos lógicos
• En cada teorema, x puede ser 0 o 1

• Cuando la operación de un circuito, se define mediante una expresión booleana, se puede dibujar el diagrama del circuito lógico directamente a partir de la expresión
• El principio básico es dibujar el circuito de derecha a izquierda, es decir, comenzando por la decisión, hacia las condiciones
• Cada operación de multiplicación, se dibuja como una compuerta AND, y cada suma se dibuja como una operación OR

• Ejemplo: $y = AC + B\bar{C} + \bar{A}BC$
• Esta expresión se conforma de una suma de 3 términos ($AC$,$B\bar{C}$,$\bar{A}BC$) que a su vez son multiplicaciones de 2 o más condiciones
• Así, dibujando de derecha a izquierda, se inicia con una compuerta OR (suma)

• Expresión: $y = AC + B\bar{C} + \bar{A}BC$
• De esta manera, se obtiene:

• Los circuitos integrados, se presentan típicamente en chips de 14 patillas, conteniendo cuatro compuertas lógicas de 2 condiciones internamente
• Pero también se pueden presentar chips con compuertas de 3 o hasta 4 condiciones, y una salida

• Los mapas K, representan la relación entre las condiciones y la salida lógica deseada
• El mapa K, permite agrupar los 1's para obtener una expresión booleana, a partir de la tabla de verdad
• Los grupos en el mapa deben ser de 1, 2, 4, 8 o 16 (potencias de 2)

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Utilizando las variables del esquema, el circuito que acciona el toldo, debe funcionar según las siguientes características:

• Independientemente del resto de señales de entrada, siempre que llueva se debe de extender el toldo para evitar que se moje la terraza. No se considerará posible que
  simultáneamente llueva y haga sol.
• Si hace viento se debe extender el toldo para evitar que el viento moleste. Sin embargo, hay una excepción: aún cuando haya viento, si el día está soleado y hace frío en la casa, se recogerá el toldo para que el sol caliente la casa.
• Por último, si no hace viento ni llueve, sólo se bajará el toldo en los días de sol y cuando haga calor en el interior, para evitar que se caliente mucho la casa.

Obtenga la tabla de verdad, la función binaria, y el correspondiente
circuito lógico del sistema